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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 [% 7'yB  
i3gv[Y  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. x.F{v?$b  
d[ey  
　　1、三角函数本质： <|0WV!-  
^z87Oj&  
　　三角函数的本质来源于定义 8u_unA,j  
GIBp$^VZ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ~t*/YwXNd  
IcK`S'^T  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 867Jr~J  
xHI?5do_V.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： :!fsVD  
==UFZc W]q  
　　推导： \.}76Q#=  
?FhNe 4L]  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 pH;]PiLur  
`db7r1F  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) kNNP\H  
WwJH.,KD )  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) rrh?' :^  
x"]H4|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 O'Ae1 `h  
$'1WWU{+  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） =iLpUdEJFq  
cC]=A?  
　　[1] ?[0FWn,  
~ Bn"n6IY  
　　两角和公式 $<ZrGN x;  
jZ`&v"Qor  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 6&}kI>C9  
f9]!)OSW3%  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $g7U/U E  
W$xAv  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB e-aOh*  
NqOtqH  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB HEmi1P  
xTdMvC=  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,y*x(w)T  
R6(P o  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)  Xikx{  
q]j B?+`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  J ;LhL1  
|4]Fm;)bn  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Mqnsk)@C  
U*M9sM`.  
倍角公式 tl\M1=>  
`p":4R,%A  
　　Sin2A=2SinA•CosA WPq28)  
Zh{wW{A  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 V,]c'6.  
BMq_v?: G  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） QMJ##L1  
6^agXA61  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） D?C oY[  
@0Ust6x<'  
三倍角公式 nCpiy#s  
{M,2XQ k7(  
　　 Aki9{A7  
vQ`w P;I  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) hXDU]J+  
;`mMQ7S|  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) hYHq2^C  
DA@O)o  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 5E+NMK4  
q`MF9W<E%  
三倍角公式推导 %@~W:W=#{^  
G3 &@9%  
　　sin3a {O8g'n  
?Xb N{  
　　=sin(2a+a) Qz1u AH  
dRi8=F]X  
　　=sin2acosa+cos2asina y( Y?I#  
:u-{C *  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina loGQ5 Y@>  
sm^M I}E-  
　　=3sina-4sin³a WJT (+/T^  
&2T,+:d"  
　　cos3a fIreDK  
Lu95LBqU+  
　　=cos(2a+a) ;[;D6lJ@U  
+7tL`  
　　=cos2acosa-sin2asina LYb5Gh?5  
G@4~>vV  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa pw:9h7  
|ih$F pF  
　　=4cos³a-3cosa {r@#Z"6  
-(Ib)^b.4  
　　sin3a=3sina-4sin³a 4e0O'ZP  
`4#{] :/  
　　=4sina(3/4-sin²a) Q<_VJ HH  
$Um(F  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] b~?-?]/$-o  
:nx2j(!  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) lq-nC.P  
j``U0i5>  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) /)S"^U ]  
O^T?dE&]I  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ]MGVaW}B  
5t&f(m>qq  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) U!80*'  
!=.x8@uD%  
　　cos3a=4cos³a-3cosa YZ|kSaTu{&  
;.nn  
　　=4cosa(cos²a-3/4) KD1~? g  
DyFD9#  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] nM^RZWS  
i6<pO_2(i=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  ?K^(u7A  
V9m73]   
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Z!ER{3l0  
Q{&p*Wle  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} )"RHjj^Q8'  
5NtzU 78+&  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)  W&[]m  
-l*$(xL\7J  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] lc>Uxl  
(3E q=F{  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] QgBu_bt<X=  
cjR%@  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) eM$M7  
T+dDfHVTo?  
　　上述两式相比可得 g7sOId#Dsk  
9+fEU  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3p~Mxkl  
xm}[L;c  
半角公式 o# Q4Y[?  
f271IF  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); H l?P0`e^;  
+@J5sFX,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. g0g:VeN  
&kzU}fir  
和差化积 PJLN Ou  
E*8Qp *Ba  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0wwT3jG{  
rQ]h!m[xp  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  =Y eYA  
;NwYp Z3  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] at"=|^;  
6K=^Y}J  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >a'q3rs.W  
%G:`20i  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ~H\yq(t  
8|ZcROa!  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) V20@5&}  
(-/]@-E  
积化和差 +G!bZA,Al  
82585{T0  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] "b,eVEHQv  
RQ0D$id.|@  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] WPol"{!  
_g[ nC`  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] iWo*[zG{h  
?W a~VH=\k  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] f :!/ $5  
`` {zUa+R  
诱导公式 dbBGGt|t@  
u U^Jy+KL  
　　sin(-α) = -sinα }6M?JQ2XT  
_qa_4)1  
　　cos(-α) = cosα 4;uni\8Z4  
/;7iS/"oC*  
　　sin(π/2-α) = cosα BQyrR<iKu  
3u,'R1 y  
　　cos(π/2-α) = sinα l,Q:q}s  
D;-dU/uskX  
　　sin(π/2+α) = cosα {a5 Ve_  
HW35]?}'@e  
　　cos(π/2+α) = -sinα e,sU";db  
v@iXr}ZKS  
　　sin(π-α) = sinα i"h.7D  
~LOl M' g  
　　cos(π-α) = -cosα 8M2bpJ  
+dle%7gE&S  
　　sin(π+α) = -sinα IsHM"a.  
Abbi`)#UR  
　　cos(π+α) = -cosα jV;!@e:$"  
1gn.pnZo  
　　tanA= sinA/cosA :3 ?!3!  
}d+@_t  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =dh^"&:;o  
tom x:  
　　tan（π/2－α）＝cotα p&dN[!  
akh WUQh3  
　　tan（π－α）＝－tanα Sl^0S ]v  
v|Vzm"?  
　　tan（π＋α）＝tanα /4Unm<'^W^  
{ :&[eM  
万能公式 -'q39;r  
gN#Jxz`j`  
　　 R^MTU2  
K/gw.gU~  
其它公式  j;-),  
]u-k~~Kg  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Xm*SI0zx  
RIX>(=8  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 O6v6FPQT  
}5R## 82r  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ^Wd{S;+  
M8Z "B?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 f8$:5-{nIJ  
mcHNs(Umt+  
　　对于任意非直角三角形,总有 HBh6+Id?  
`}c fb[a  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Z<Kf,>,  
z ajA[>  
　　证: co({!ms5j  
' D6   
　　A+B=π-C #m!:?  
rj kQ|x  
　　tan(A+B)=tan(π-C) #72Yw:Pl  
Dp3[80bi=  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) h9]Xyf  
Af4+=  
　　整理可得 PKoZ JI  
^|Den9)eA{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <i3`wMw E  
A7`N1e  
　　得证 H#$u"IFaw  
|P_"y ;F  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 _TFxU^8 '  
<H9* |za  
其他非重点三角函数 TG&0we}A  
m Z hV~.{]  
　　csc(a) = 1/sin(a) rPudo,O  
z )hRF`qd  
　　sec(a) = 1/cos(a) c3q3bk  
2T]Ne5*  
　　 0,Uy22TQ  
R0.0:'D  
双曲函数 |_#@1 oP  
*NV-RR  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 J'#ZL?H  
,JTTEWY'  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 T]c*tifX  
)Zz T..  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) I,6KH{YR  
3W~B~PLN  
　　公式一： ~yf5 #c  
7<ARLDv  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： |H%jAU}H  
+;R2X=G7)  
　　sin（2kπ＋α）= sinα E mr sG`p  
Qil,,h<EE  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5z9kT7K  
xQ r=o  
　　tan（kπ＋α）= tanα THqP6ei  
/[Hnpobk|  
　　cot（kπ＋α）= cotα NQ= y3%g  
_[F)pR0  
　　公式二： \'!ATi  
|Qu1p%e  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： <'p(kFX,b  
X~b nzI  
　　sin（π＋α）= -sinα 3<46xxXd  
3d>[lw,%  
　　cos（π＋α）= -cosα vJRP?Bm  
I$_G!+r  
　　tan（π＋α）= tanα >e"@u1}Os  
9TqY[Pq  
　　cot（π＋α）= cotα MX=:v??{  
2P2c^Rx=  
　　公式三：  2"E\vw  
(dnM:xzg  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： _SEjGVD  
e M>O2jr^  
　　sin（-α）= -sinα :ed=C"!n  
pFM4c2b^  
　　cos（-α）= cosα ~f._0F~T  
4?-wkq%4  
　　tan（-α）= -tanα ?>7n$u(,f%  
NA*q9x  
　　cot（-α）= -cotα Ex>Pf Yg  
8Ed0=C1  
　　公式四： 2Q3 Ub  
j8:.ps)  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ABF wNe$8  
CbWJ[T24  
　　sin（π-α）= sinα s[mVg"  
k<pCkuY@  
　　cos（π-α）= -cosα iSQQ;YU~,  
1%[f?;^J=  
　　tan（π-α）= -tanα z(aSp*x&  
DD9 K "  
　　cot（π-α）= -cotα S8a"dU^u  
\JhOr;x5)  
　　公式五： '3`r2Pli  
dE J-IeB@R  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： W 5Kn3&  
4U3f#+?  
　　sin（2π-α）= -sinα 1I 01 /  
6]n 7=)DV  
　　cos（2π-α）= cosα Dc]~O$@  
h-Q[u?T  
　　tan（2π-α）= -tanα 4 c5nx  
@Of G{19  
　　cot（2π-α）= -cotα ?}:c{cy+  
2z<$qJ}=  
　　公式六： BN-VIZVU  
Nn<QHuT:  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： !z+! } nx9  
 ]*)m=  
　　sin（π/2+α）= cosα :#FKe==  
nX]jk%k%  
　　cos（π/2+α）= -sinα ?5rB},!Y  
"?!>N\88  
　　tan（π/2+α）= -cotα e?(48`,&  
fd_vaw=5_  
　　cot（π/2+α）= -tanα 8*`Xn'YVx  
7x*lJvm  
　　sin（π/2-α）= cosα jobv$a%C  
`BP~G;  
　　cos（π/2-α）= sinα QOB\_H :  
*M4 zQ=7  
　　tan（π/2-α）= cotα `=gpQ'6  
PYXjQ2o-  
　　cot（π/2-α）= tanα ;JEuUGw^P  
1+&# 1   
　　sin（3π/2+α）= -cosα )t3yu//R  
}@9lfr|P  
　　cos（3π/2+α）= sinα vW6EwsW6  
,WD0~jI{3  
　　tan（3π/2+α）= -cotα :E i3'  
d-N>x  
　　cot（3π/2+α）= -tanα lASR$#  
qV W  
　　sin（3π/2-α）= -cosα m3HW  l  
3B)N=-/r  
　　cos（3π/2-α）= -sinα b{sLp+T  
Ao_O-\pu  
　　tan（3π/2-α）= cotα g T&$^(  
:X.`3 Hq  
　　cot（3π/2-α）= tanα lX|nFEB~B  
8il8\T _'  
　　(以上k∈Z) zKOHi !%T  
=M[ K~Dw  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 (7BZp  
1.pW@:;  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~eT\pa{3*  
D[fYx  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 8Q,['jsI  
/;*iN{Mw  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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