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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 T m?5_  
"+r  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ->dQK_g  
[N$}>I  
　　1、三角函数本质： ;4[;0{  
} z/A--5  
　　三角函数的本质来源于定义 6a@A~p  
*{%eC  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  v{=ZzG  
bA@pWV{ZS  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 lvp|KQOv  
%h9 Y&W4  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： h YA{]EZ  
M ,WIuCz5:  
　　推导： \T\o Am  
"ct|t3  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 9` $ H  
e_Ba@\  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) o</s M (  
`\gj_2'G  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) e;.V,-  
C4L+c59Gr  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0lz/~p(>  
+ks Xa<-  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） e ^a^H vj  
~]4vN   
　　[1] `V![-W  
t<Y!sQz~  
　　两角和公式 [GbW =3iS  
) .tT~.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 9\hM}/=}  
HQbWmWw  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ^)Zz9nHz  
uuu#t  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ^WpIT $X  
!*K#Rtsh  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB N&$AeG|  
8{NvIj&?  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) &WC]\'E  
Ci'~Gi  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) EDL.`e J  
A`o-Y LK  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  `fJ["v  
Mb{AqC}D  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)  yW&:AP  
:G2^CH~  
倍角公式 G)O!@[p`G  
K_& %j(H  
　　Sin2A=2SinA•CosA {/yx0@J24x  
<W)Q{cgS  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ;.mFk  
6|Te6QAE  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） !JxdP&}--  
f=^! ;297  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） F<?\P] D  
f>7w ,~  
三倍角公式 Jo}zZ>  
z\TuVG  
　　 xA== 7J  
}*SdIDd>U  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) k1,_8r"/  
f?YR$B)_K  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 1alS[$/i  
T!S5mA  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 8qNx!m  
9sC Ve)  
三倍角公式推导 xb_(?T Kn  
/ +YI #Dk  
　　sin3a 7{ogZtF  
Z0[T@)y6R|  
　　=sin(2a+a) =}%L_SP@i  
X Q%iq@  
　　=sin2acosa+cos2asina ;i,7(&!  
jo<nCJf  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /+O?bC3  
Dxl(9:N+)Q  
　　=3sina-4sin³a :)hrpH  
,\J,ek.  
　　cos3a X"C :: O  
J.&mwfX  
　　=cos(2a+a) v /t g  
\6oCKG?P>F  
　　=cos2acosa-sin2asina .vg+=vGq  
XepK%fy-  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa <7jCh$>  
Mp7GSUa!df  
　　=4cos³a-3cosa #+HW? +g  
sC.? HsKA  
　　sin3a=3sina-4sin³a e` c&={  
v:'[Ho  
　　=4sina(3/4-sin²a) -cZG*@N  
v&{W1uv  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 7[RRWW)QV  
2K1N0o%  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) -(?PZ0QV  
Z ]Ssy*DS  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 1=SkxX~  
\zpqcs0?  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] W;1Ggvt  
,a!F&I   
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) "~mFP?FlKL  
*|{lS IAk/  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 2ZH% i >  
E bV1=w&1  
　　=4cosa(cos²a-3/4) TN4QL3ynIB  
m?"' ,\  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] z*$nngDX  
'An]o`D l  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) AN-kRDW  
X\!}Q4L  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) k\rV%(p  
|x7+1*L"k  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} z(mVvY@;  
bM:v^Y  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) _?I&>k]enN  
E$WYNY r2  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] s=Y: S=Jm  
!@v/ Y G$}  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] vPh^ NSOb  
PorK9u]h  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 5$GFotzB  
tLS-OA  
　　上述两式相比可得 ec~!RF2  
6KqAt9C  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ba9?Y#vY  
On% [ :R  
半角公式 XOr#B& D  
.ILL:9u  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); E IyB  
jx! /4Jc2  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. O]WEDI  
_sFBJ(j+  
和差化积 MByAEM   
@ ,3Ft?a5  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] |E$;ly\S<  
*R"!}9K7  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ; yBi}V  
c@f3S^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] h0u)' 1W  
!LNI ~x  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] O!r?q  
{ke>/=  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) }-6&UaZ zp  
", e4S'<  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) V#  `U+Q-  
@./4'O\Z  
积化和差 *p:V] R  
hO:R=9Ar5m  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] en 3?B|<  
y60u'RZM;  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] &6:LT]uq  
?uaGXAlX  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] o,pI%(D#  
gP/XD?SX  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] F Ni~CUJ@  
'\ETLA8  
诱导公式 6\[o K<I#  
#@*#Mv+s%[  
　　sin(-α) = -sinα 60 vl@3  
 ow]5  
　　cos(-α) = cosα my5b6m6N  
4+lG.  
　　sin(π/2-α) = cosα bBh>=>gGx  
x9QJyp.|  
　　cos(π/2-α) = sinα #d.`%t2V  
't \BbTv  
　　sin(π/2+α) = cosα \Bv""v\(  
#`;Ncw)`o  
　　cos(π/2+α) = -sinα 6`fU, X  
yY^sG  
　　sin(π-α) = sinα ^z".gjH  
}7npr,zi  
　　cos(π-α) = -cosα A1'_f  
'rN{VmZ!  
　　sin(π+α) = -sinα R-HTN3  
E,uUd!  
　　cos(π+α) = -cosα '| [~i)  
4 GE' 6  
　　tanA= sinA/cosA $yIz^KUxl  
V-8|9w+:Hg  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα @L&4K U3  
".b]*=*l  
　　tan（π/2－α）＝cotα OR=VqnUk  
ugQtOu7"O  
　　tan（π－α）＝－tanα :E.lt=Oy  
v(XEf  
　　tan（π＋α）＝tanα Fe^yy;u  
>=eZ #5  
万能公式 [SI$%3"h  
Q}v{&m*  
　　 z"eZU  
EolC$  
其它公式 &o beLC  
y#LS #  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 U zQg3W%  
{xw~uQdQC  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 l\at(w4t  
>z>g|X?m-x  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 H- /'I$]B  
={H<o1  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 heP,gtSr  
MX zzoF  
　　对于任意非直角三角形,总有 V.yNO;qJ7[  
y&S%lp[ZPP  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Bg2:  
Gn> #AB<d  
　　证: rFQ>BU 35I  
M%G"WKX|  
　　A+B=π-C >Jh g  
uT`=Juzw  
　　tan(A+B)=tan(π-C) n /Rl7  
Wb1i_?:  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &uI~z+&  
`NQ#'k/  
　　整理可得 V=la'p   
131W{   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ob] mCqC  
GY q(J4  
　　得证 H%8;FQ n(  
,o3@,ze  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 4b"]9KAs  
j'N.o s  
其他非重点三角函数 e[!WG>]"&  
JOP6%PHTKL  
　　csc(a) = 1/sin(a) lj,/m'  
!\O3o0*`b  
　　sec(a) = 1/cos(a) A!| 4+>w  
*@UM;0$\  
　　 g_`.T3_wA  
TZaejWV  
双曲函数 Qs9xg  
is\OLS  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 =B >^  
.y;.# tb  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 6.5k-k  
-,lfg_  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) $pjsg**a  
4J64A~2  
　　公式一： Sx E< A  
9Bm?hW!  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： B0+O,C  
T4>9'w}  
　　sin（2kπ＋α）= sinα l *C)}421o  
/>orU2.[  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ]Vf5t{f  
9v %bXkl  
　　tan（kπ＋α）= tanα P[-z#hF>Ik  
73X@v`V  
　　cot（kπ＋α）= cotα ?`j [X  
0(q'n  
　　公式二： |/b4 E1z  
D*y,/tM  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 6/=]x4X1j  
{i{%S /^  
　　sin（π＋α）= -sinα io /G*.  
>j@Vik  
　　cos（π＋α）= -cosα rsHE0L{lcn  
yD7J7"bB  
　　tan（π＋α）= tanα O)7!`Z l>y  
rH:"X SX>  
　　cot（π＋α）= cotα +eSOg?_q  
k"AcW(I  
　　公式三： Hmz| l  
=ju*iypy  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ,[]J5Db ^  
bFxv/JU^  
　　sin（-α）= -sinα NjL5o!*  
7J\Q{"*5,  
　　cos（-α）= cosα 9!q  
3 ^~jNld  
　　tan（-α）= -tanα >M]36_  
E?Q\`HZl  
　　cot（-α）= -cotα 9_'b |Sd  
fA >-H  
　　公式四： Z`8Bx5c  
wo~,r.b I}  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4 m.7 Mv7  
t1N 0&4>  
　　sin（π-α）= sinα I7 d   
9(sh `&$a  
　　cos（π-α）= -cosα ~ $NaIK/  
jJbiU  
　　tan（π-α）= -tanα t^Nd&j6  
MWhBe0WR  
　　cot（π-α）= -cotα tm\Jt%O  
0w8S8]D~  
　　公式五： .AzJUw5(3  
s QFL>08cD  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ?iQHIuwZ)[  
U@Lq1qW  
　　sin（2π-α）= -sinα f5 sWYtA2z  
T>7{@JsI  
　　cos（2π-α）= cosα d\9d,(f  
_0=2 LT7  
　　tan（2π-α）= -tanα % w!z7:Mcr  
do_u_n-}H  
　　cot（2π-α）= -cotα 'L~wK#ub  
]->j%(  
　　公式六： 3Q;y  
tk@Y-LH(q  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： p)C7`6L  
cs=pHK^  
　　sin（π/2+α）= cosα A/OaYs L6  
_&ZXJ."%  
　　cos（π/2+α）= -sinα Dj@uQYIV  
{;QW6#wB  
　　tan（π/2+α）= -cotα &$H]?B?  
0${>]-e  
　　cot（π/2+α）= -tanα N/}SV< bnB  
(6!|smw5?  
　　sin（π/2-α）= cosα s ~.V }M  
&"$EiA  
　　cos（π/2-α）= sinα f%lS[AdnFE  
<rZ>bnLf  
　　tan（π/2-α）= cotα R mZw/PGQ4  
u0!0|0e1+  
　　cot（π/2-α）= tanα +;6U|eu  
V,  JPwS  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8{?#+AM  
sBy3W  
　　cos（3π/2+α）= sinα ',Hw\7~d  
|gT-TS  
　　tan（3π/2+α）= -cotα sc:|x95+  
p_=NQ2A5|`  
　　cot（3π/2+α）= -tanα `DzJFgj >  
SEYG#1^|P  
　　sin（3π/2-α）= -cosα -gQbSh "L  
GZM,VO  
　　cos（3π/2-α）= -sinα hjVa(e'  
;fOcC$&S  
　　tan（3π/2-α）= cotα =Oz)G"  
X3\PI   
　　cot（3π/2-α）= tanα Am*l:! c  
*;u[z_p0o  
　　(以上k∈Z) 06<J6% h  
CV)],  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 |0pkT h0  
wG}lp  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ucQH[FdQ  
_&ztNF{.q  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } <6)yRv  
K'j9@)u6@  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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